Studiare la matematica

La matematica ha una sua propria fenomenologia, che viene continuamente indagata ed ampliata. A partire da essa, si sviluppano delle teorie, ossia costruzioni intellettuali che catturano di tale fenomenologia gli elementi essenziali. Le teorie, a loro volta, dischiudono nuovi elementi fenomenologici, oppure permettono di vedere fenomeni già incontrati sotto una luce più chiara.

Il progresso della matematica è tutto giocato tra l’indagine dei suoi fenomeni, e la costruzione e il raffinamento delle teorie che li descrivono. Alcuni matematici sono come degli esploratori, che costantemente viaggiano alla ricerca delle meraviglie della natura, per osservarne la forma e il comportamento; altri, invece, sono filosofi e speculatori, che portano continuamente avanti il necessario lavoro di astrazione e costruzione di teorie. Queste due figure sono necessarie l’una all’altra, e complementari: una teoria ha valore esattamente quando ha un forte supporto fenomenologico, e del resto sono le teorie a far sì che l’esplorazione dei fenomeni non proceda alla cieca.

Tali osservazioni mi rassicurano sul fatto che lo studio della matematica non è poi così diverso dallo studio della realtà naturale in cui ci troviamo gettati.

Due su tre

Ripenso ai miei due anni da dottorando in matematica, qui a Pavia. La ricerca è effettivamente un mestiere, e come tale si impara. Non è stato affatto banale. Il primo anno si procedeva spinti dall’entusiasmo, un po’ alla garibaldina; qualche risultato è anche uscito subito, ma poi si è passato tempo a leggere articoli astrusi, a fare pratica con il linguaggio degli oggetti studiati, senza concludere granché. Poi, idee vaghe che lì per lì sembravano chissà cosa, ma facevano solo perdere tempo. Con pazienza, si è imparato a volare sempre bassi, pure conservando la capacità di guardare in alto quando serve. Quest’ultima metafora, probabilmente, riassume la principale lezione di questi mesi di attività, assimilata dopo molto tempo e molti errori. Il problema che ho studiato, effettivamente, si è rivelato – nonostante le prime apparenze – piuttosto difficile, probabilmente al di là della mia portata. Qualcosa di interessante si è ottenuto, ma proprio ora che mi sento un ricercatore ben più maturo e capace, mi rendo conto che ho solo un anno davanti a me prima di concludere, e tuttora nulla di ultimato.

Ciò che ho almeno ho guadagnato, in questi ultimi mesi, è stata una rinnovata motivazione per il mio lavoro. Ora, so dire perché la matematica è la mia attività di elezione. So spiegare perché è importante per l’umanità, e perché è bella. Raggiungere tale consapevolezza ha avuto un costo; la mia speranza è che nei mesi a venire essa possa concretizzarsi in prodotti compiuti e tangibili. Anche questo, ovviamente, richiederà una certa fatica.

Cos’è la matematica?

Cos’è la matematica?

Al di là delle motivazioni che l’hanno portata a svilupparsi nel corso dei secoli (anzi, dei millenni), la verità è che la matematica non è altro che il più raffinato tentativo dell’uomo di farsi divinità. Il più raffinato, perché l’atto creativo è il più compiuto possibile: un intero universo, con regole specificate sin dal principio, sotto il nostro controllo. Il tutto stabilito con totale arbitrarietà, da noi e noi soltanto.

Ma non siamo divinità. E infatti, anche quel tentativo è riuscito solo a metà. Abbiamo concepito quel mondo, abbiamo il controllo del suo linguaggio, delle sue regole, lo conteniamo in poche pagine di assiomi, ma…

Ma è un mondo, è un universo che ci è perlopiù ignoto. L’abbiamo creato e delineato, ma non lo conosciamo, se non molto limitatamente. È un concreto infinito in atto. Un tutto racchiuso in una scatola. Se c’è una divinità vera, probabilmente ride di tale beffardo esito della nostra più estrema tracotanza.

«Volevi essere come Dio, ci hai provato, sei riuscita a creare, ma ecco, ciò che hai creato va oltre te stessa, o disgraziata umanità.»

Disgraziata umanità, eppure deliziosa.

Una semplice tecnica per contare

È la prima volta che in questo blog mi metto a parlare di matematica nel senso più stretto della parola. In realtà questo non è un blog di matematica (forse lo diventerà? Chi può dirlo?), ma in fin dei conti può essere comunque carina qualche divagazione.

Quello che mostro ora è una ben nota e semplicissima (ma semplicissima) tecnica per contare gli elementi di un insieme finito, che ha il pregio di essere applicabile in una quantità sterminata di casi. Ciò che abbiamo sono un insieme finito X (quello di cui vogliamo contare gli elementi), un altro insieme finito Y e una funzione surgettiva F : X \rightarrow Y. È veramente semplice accorgersi che:

\displaystyle X = F^{-1}(Y) = \bigcup_{y \in Y} F^{-1}(y),

e quell’unione è disgiunta. Ma allora si ottiene la seguente formula:

\displaystyle \# X = \sum_{y \in Y} \# F^{-1}(y).

Tale formula diventa particolarmente utile quando la cardinalità di ognuno degli insiemi F^{-1}(y) è indipendente da y. In quel caso, denotata con d tale cardinalità, quello che si ottiene immediatamente è:

\# X = d \# Y.

Come applicazione, dimostriamo un semplice risultato sui gruppi finiti: dato un gruppo finito G, e dato n un intero, allora il numero degli elementi di ordine n è esattamente \varphi(n) volte il numero dei sottogruppi ciclici di G di ordine n. Con \varphi(\cdot) denoto la funzione di Eulero. Ricordo che \varphi(n) è pari al numero di generatori di un gruppo ciclico di ordine n. Per vedere il risultato appena enunciato, ragioniamo così. Prendiamo X l’insieme degli elementi di ordine n in G, poi Y l’insieme dei sottogruppi ciclici di G di ordine n. Definiamo F : X \rightarrow Y nel seguente modo:

F(g) = \langle g \rangle,

ove con \langle g \rangle denoto il sottogruppo di G generato da g. È abbastanza chiaro che F sia surgettiva; d’altra parte, per ogni H \in Y (sottogruppo ciclico di ordine n), ho che F^{-1}(H) è esattamente l’insieme dei generatori di H. Dunque, per ogni H, ottengo che \# F^{-1}(H)=\varphi(n). Ma allora, possiamo applicare la formula di cui sopra per contare gli elementi di X, trovando proprio che:

\# X = \varphi(n) \# Y,

che è esattamente ciò che volevamo.

Un abuso di linguaggio

Oggi, come spesso accade, stavo perdendo tempo davanti al computer, e in particolare su Facebook (lo ammetto, a volte diventa quasi una dipendenza); navigando in quel modo disattento sono capitato nella pagina Anti UAAR. Avevo già incontrato un’altra volta questo gruppetto di persone, unite dal credo religioso cattolico e soprattutto dall’avversione verso le forme di ateismo più “fondamentalista”, per così dire, quasi sempre (per loro) incarnate dai membri dell’UAAR (Unione degli Atei e Agnostici Razionalisti, per l’appunto). Gli “Anti UAAR” hanno anche un blog, che può essere istruttivo leggere per farsi un’idea riguardo le loro posizioni.

Ma torniamo a noi, cioè a me e alla mia navigazione disattenta. Come si è caricata quella pagina, ho notato un post dal titolo Quando Kurt Godel [sic] dimostrò logicamente la necessaria esistenza di Dio. Lo si può leggere anche direttamente dal loro blog, come consiglio a tutti di fare. Ed eccoci al punto. Ora, io mi sbaglierò, ma la prima cosa che ho pensato leggendo quell’articoletto è stata: ma questi sanno di cosa stanno parlando? No, dico, perché altrimenti ci fanno proprio una magra figura.

Andiamo con ordine. Io non ho competenze vere di logica e non ho studiato Gödel, però faccio matematica da 4 anni e ho anche una Laurea Triennale. Una dimostrazione è fatta di deduzioni svolte a partire da assiomi, cioè da affermazioni assunte come vere dal principio. Uno può prendere come assiomi “verità evidenti” (con tutte le problematiche del caso… ad esempio la geometria euclidea era basata su “verità evidenti”…), oppure fare scelte del tutto arbitrarie. È importante, anzi è fondamentale il quadro in cui ci si pone. Le definizioni devono essere tutte “buone”, nel senso che, se voglio definire un oggetto in un certo quadro assiomatico, sono costretto ad usare termini già precedentemente definiti. Così, può succedere (soprattutto a chi non fa matematica…) di cadere nell’ingenuità di chi pensa che gli oggetti definiti in un certo modo in un sistema assiomatico debbano per forza avere un collegamento con gli oggetti della realtà. E mi pare proprio che i signori dell’Anti UAAR abbiano commesso questo sbaglio: pensare che il Dio di cui Gödel dimostra l’esistenza sia lo stesso Dio in cui credono i cristiani. Ma questo, a mio parere, è insensato!

Ciò che mi irrita profondamente, in particolare, è l’uso profondamente sbagliato che in tutto ciò si fa della matematica: usarla per fare deduzioni che vanno a finire fuori da essa. Insomma usare impropriamente il linguaggio della matematica stessa, confondere  i due piani “matematico” e “reale”. Come se io dicessi, ad esempio, che i numeri reali esistono, sono tangibili, mentre invece i numeri immaginari sono eterei, celesti. Affermazione evocativa, che probabilmente attirerà l’attenzione di qualcuno, ma del tutto insensata. Lo ribadisco, a costo di essere davvero ripetitivo: le parole che definiscono gli oggetti matematici in una teoria hanno un valore che è esclusivamente interno a quella teoria. Quindi è sbagliato usarle impropriamente fuori.

La questione non è in ogni caso banale: effettivamente la matematica fornisce validissimi modelli interpretativi della realtà, ed è forse ciò a portare agli abusi di cui ho detto. Essenzialmente tutta la fisica si basa su modelli matematici, e buona parte dell’economia, e ora anche scienze come la biologia. Per me è stupefacente come questo possa accadere: non tutta la matematica è “applicata”, cioè votata alla ricerca diretta di modelli della realtà, eppure moltissima della matematica “pura” trova sorprendenti applicazioni. Sarà solo una coincidenza? Io a questa domanda non so proprio rispondere.

Alieno

La scena è circa la stessa, ogni volta. Una persona che mi fa una domanda innocua tipo “sei all’università? Cosa studi?”. Io studio matematica, oramai sono anche al terz’anno. A tale risposta, quasi sempre mi trovo davanti una faccia che mi osserva con un misto di stupore, ammirazione e una sorta di timorosa riverenza. Le parole che seguono, poi, sono quasi sempre le stesse: “ah, matematica! Ma ci vuole proprio una testa…” oppure “è proprio una cosa difficile, non sarete in molti…”. Sì, in effetti non siamo in molti, in corso.

Però io comincio a stancarmi di venir additato come un alieno, solo a causa degli studi che faccio. All’inizio poteva forse essere motivo di orgoglio, l’orgoglio dell’elitismo, il sentirsi chissà chi perché si fa una cosa che tutti ritengono strana e difficile. Beh, insomma, forse tempo fa potevo anche sentirmi così, ma adesso sinceramente penso che siano tutte idiozie. Io non credo proprio che vi sia una disciplina umana più facile o più difficile di altre. Ve ne sono talmente tante, e talmente diverse e a loro modo “facili” o “difficili”, che confrontarle fra di loro mi sembra un’operazione insulsa, e denotante poca onestà intellettuale. Perché poi, certo, è facile dire che tutto il resto è facile quando si conoscono le sole difficoltà della propria disciplina. Quando magari, ad approcciarsi a qualcosa di quel “resto”, ci si scoprirebbe disarmati, persi. Io, che ho al più la possibilità di conoscere in maniera approfondita solo poche, pochissime discipline (o addirittura solo piccoli pezzi di queste), non voglio fare l’errore di dare giudizi di valore su cose che non conosco a sufficienza. La matematica è vista come qualcosa di difficilissimo, del tutto fuori dal mondo, accessibile solo a pochi; nonostante questo io voglio pensare che si tratti solo di una disciplina umana come tutte le altre, con il suo bagaglio di difficoltà come tutte le altre, studiata da persone che si sentono semplicemente portate e appassionate, non certo “diverse” e circondate per forza da una qualche strana aura.

Purezza

Purezza

Non ci sono gli ingegneri, evidentemente perché essi dovrebbero essere disegnati a -\infty .

(Non vedo l’ora che mi legga un ingegnere, sennò che gusto c’è a sfottere, eh?)