Fermate per sempre questo sole, caldo ma gentile.
Fermate questo cielo limpido.
Fermate i colori, intensi, puliti.

Non fate sfuggire questo miracolo della vita, prima che ritorni l’oppressione, l’afa, a schiacciarlo.

(E, nel fare ciò, trovate parole migliori di quelle che ho adoperato io. So che ne siete capaci. So che ne sei capace, amore mio.)

Quello che mostro ora è una ben nota e semplicissima (ma semplicissima) tecnica per contare gli elementi di un insieme finito, che ha il pregio di essere applicabile in una quantità sterminata di casi. Ciò che abbiamo sono un insieme finito (quello di cui vogliamo contare gli elementi), un altro insieme finito e una funzione surgettiva . È veramente semplice accorgersi che:

,

e quell’unione è disgiunta. Ma allora si ottiene la seguente formula:

.

Tale formula diventa particolarmente utile quando la cardinalità di ognuno degli insiemi è indipendente da . In quel caso, denotata con tale cardinalità, quello che si ottiene immediatamente è:

.

Come applicazione, dimostriamo un semplice risultato sui gruppi finiti: dato un gruppo finito , e dato un intero, allora il numero degli elementi di ordine è esattamente volte il numero dei sottogruppi ciclici di di ordine . Con denoto la funzione di Eulero. Ricordo che è pari al numero di generatori di un gruppo ciclico di ordine . Per vedere il risultato appena enunciato, ragioniamo così. Prendiamo l’insieme degli elementi di ordine in , poi l’insieme dei sottogruppi ciclici di di ordine . Definiamo nel seguente modo:

,

ove con denoto il sottogruppo di generato da . È abbastanza chiaro che sia surgettiva; d’altra parte, per ogni (sottogruppo ciclico di ordine ), ho che è esattamente l’insieme dei generatori di . Dunque, per ogni , ottengo che . Ma allora, possiamo applicare la formula di cui sopra per contare gli elementi di , trovando proprio che:

,

che è esattamente ciò che volevamo.

Tutti noi abbiamo dei doveri, in quanto cittadini. Anzi, oserei dire che essere pienamente cittadini significa esattamente rispettare rigorosamente le regole che la società ci impone. Chi non rispetta tali regole, fosse anche con piccoli “magheggi”, si sta di fatto chiamando fuori dalla società. Mi si dirà: hanno più colpe – per dire – quelli che, in una posizione di predominanza, truffano grosse quantità di denaro, piuttosto che il piccolo imprenditore che ogni tanto non emette fatture. E io risponderò che sì, le grandi truffe sono ben più gravi delle piccole furberie, ma che ciò non vuol dire che gli artefici delle seconde si stiano comportando bene, anzi.

Il fatto che vi siano uomini ricchi e corrotti che vivono nell’impunità non può in alcun modo giustificare, da parte degli altri, atteggiamenti che, in ultima analisi, non sono altro che la riproduzione, in piccolo, dei crimini dei primi.

Per esempio, prendi la sessualità. Io voglio che un giorno affermare «sono omosessuale» sia un fatto del tutto banale. Banale, come manifestare una preferenza tra il gelato alla fragola e il gelato alla stracciatella. E invece no: di fronte a qualcuno che dice «sono omosessuale» non possiamo fare a meno di restare colpiti, emotivamente mossi. Sia che lo reputiamo un malato da curare (ancora succede), sia che siamo d’accordo con lui sulla necessità di esprimere liberamente il proprio essere. E invece, come sarebbe bello reagire con indifferenza! Capire che non è certo la sessualità di qualcuno distinto da noi a doverci preoccupare; ecco, tale indifferenza non sarebbe forse la forma più alta di rispetto e di tolleranza nei confronti di un omosessuale?

Di esempi oltre a questo, credo, sono piene le nostre vite. Pensa a tutti quelli che badano al colore della pelle di chi hanno di fronte, come se fosse un aspetto di lui veramente essenziale (e invece è marginale: dovremmo esserne indifferenti). Pensa a quelli che ancora danno peso alla marca dei vestiti o dell’automobile, come fossero una sensata misura del valore di sé stessi e forse degli altri (e invece si tratta di caratteri esteriori a cui dovremmo essere totalmente indifferenti).

Comprendi, finalmente: la nostra società è traboccante di preoccupazioni immotivate. Più che superflue: proprio formalmente e sostanzialmente immotivate. E cosa meritano dunque questi falsi problemi di cui siamo così impregnati, se non da parte nostra una sensata indifferenza?

Ma torniamo a noi, cioè a me e alla mia navigazione disattenta. Come si è caricata quella pagina, ho notato un post dal titolo Quando Kurt Godel [sic] dimostrò logicamente la necessaria esistenza di Dio. Lo si può leggere anche direttamente dal loro blog, come consiglio a tutti di fare. Ed eccoci al punto. Ora, io mi sbaglierò, ma la prima cosa che ho pensato leggendo quell’articoletto è stata: ma questi sanno di cosa stanno parlando? No, dico, perché altrimenti ci fanno proprio una magra figura.

Andiamo con ordine. Io non ho competenze vere di logica e non ho studiato Gödel, però faccio matematica da 4 anni e ho anche una Laurea Triennale. Una dimostrazione è fatta di deduzioni svolte a partire da assiomi, cioè da affermazioni assunte come vere dal principio. Uno può prendere come assiomi “verità evidenti” (con tutte le problematiche del caso… ad esempio la geometria euclidea era basata su “verità evidenti”…), oppure fare scelte del tutto arbitrarie. È importante, anzi è fondamentale il quadro in cui ci si pone. Le definizioni devono essere tutte “buone”, nel senso che, se voglio definire un oggetto in un certo quadro assiomatico, sono costretto ad usare termini già precedentemente definiti. Così, può succedere (soprattutto a chi non fa matematica…) di cadere nell’ingenuità di chi pensa che gli oggetti definiti in un certo modo in un sistema assiomatico debbano per forza avere un collegamento con gli oggetti della realtà. E mi pare proprio che i signori dell’Anti UAAR abbiano commesso questo sbaglio: pensare che il Dio di cui Gödel dimostra l’esistenza sia lo stesso Dio in cui credono i cristiani. Ma questo, a mio parere, è insensato!

Ciò che mi irrita profondamente, in particolare, è l’uso profondamente sbagliato che in tutto ciò si fa della matematica: usarla per fare deduzioni che vanno a finire fuori da essa. Insomma usare impropriamente il linguaggio della matematica stessa, confondere  i due piani “matematico” e “reale”. Come se io dicessi, ad esempio, che i numeri reali esistono, sono tangibili, mentre invece i numeri immaginari sono eterei, celesti. Affermazione evocativa, che probabilmente attirerà l’attenzione di qualcuno, ma del tutto insensata. Lo ribadisco, a costo di essere davvero ripetitivo: le parole che definiscono gli oggetti matematici in una teoria hanno un valore che è esclusivamente interno a quella teoria. Quindi è sbagliato usarle impropriamente fuori.

La questione non è in ogni caso banale: effettivamente la matematica fornisce validissimi modelli interpretativi della realtà, ed è forse ciò a portare agli abusi di cui ho detto. Essenzialmente tutta la fisica si basa su modelli matematici, e buona parte dell’economia, e ora anche scienze come la biologia. Per me è stupefacente come questo possa accadere: non tutta la matematica è “applicata”, cioè votata alla ricerca diretta di modelli della realtà, eppure moltissima della matematica “pura” trova sorprendenti applicazioni. Sarà solo una coincidenza? Io a questa domanda non so proprio rispondere.

Io vergognarmi di ciò che scrivo? Sì, perché ripenso sempre a tutti quei vecchi articoli di quel vecchio web log, e più passa il tempo più mi convinco che il me stesso di allora fosse uno sciocco. Boh, forse sbaglio anche in questo, forse non è l’approccio giusto. La mia fidanzata, per esempio, non credo si vergogni di ciò che scrive o che ha scritto in passato. Lei, in effetti, scrive incessantemente. Ed è anche brava, molto più brava di me, che pure non mi reputo un incapace, insomma.

In matematica, invece, mi sento molto più ferrato, esperto. Non mi vergogno di fare matematica, non mi vergogno nemmeno del periodo in cui, da novellino, cercavo di risolvere qualche problema delle Olimat. A volte con successo, a volte con insuccesso, ma comunque sempre in un modo che adesso definirei orrendamente involuto, poco formale. Non provo vergogna di essere stato un inesperto in matematica eppure mi vergogno di essere stato un inesperto nella scrittura. Chissà perché.

Forse la mia fidanzata sarà in grado di spiegarmelo. Forse sarebbe ora di farle leggere tutto. Anche ciò di cui provo vergogna.

In questi ultimi mesi mi sembrava che, qualsiasi cosa dovessi scrivere qui, sarebbe stata una cosa stupida. Per questo non ho pubblicato più nulla per molto tempo. E chissà perché invece ora sto pubblicando questa nota, pure con un pizzico di autocompiacimento.  Quello dei vecchi tempi.

PS: ho aggiornato la pagina di Matematica con un paio di novità!